\chapter{索末菲椭圆轨道理论推导（1916）}
\section{索末菲椭圆轨道理论的正確推导}

\subsection{哈密顿-雅可比方程方法}
索末菲采用哈密顿-雅可比方法处理量子化问题。对于库仑势中的电子，哈密顿特征函数$W$满足：
\begin{equation}
	\frac{1}{2m}\left[\left(\frac{\partial W}{\partial r}\right)^2 + \frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial W}{\partial \phi}\right)^2\right] - \frac{Ze^2}{r} = E
\end{equation}

\subsection{分离变量法}
设$W = W_r(r) + W_\phi(\phi)$，可得：
\begin{align}
	\frac{\partial W_\phi}{\partial \phi} &= p_\phi = \text{常数} \\
	\left(\frac{\partial W_r}{\partial r}\right)^2 &= 2mE + \frac{2mZe^2}{r} - \frac{p_\phi^2}{r^2}
\end{align}

\subsection{量子化条件}
索末菲量子化条件：
\begin{align}
	\oint p_\phi d\phi &= n_\phi h \\
	\oint p_r dr &= n_r h
\end{align}
其中$n_\phi = 1, 2, 3, \ldots$，$n_r = 0, 1, 2, \ldots$

\subsection{角动量量子化}
第一个积分直接给出：
\begin{equation}
	\oint p_\phi d\phi = 2\pi p_\phi = n_\phi h \quad \Rightarrow \quad p_\phi = \frac{n_\phi h}{2\pi} = n_\phi \hbar
\end{equation}

\subsection{径向量子化}
径向积分需要计算：
\begin{equation}
	\oint p_r dr = 2\int_{r_{\min}}^{r_{\max}} \sqrt{2mE + \frac{2mZe^2}{r} - \frac{n_\phi^2 \hbar^2}{r^2}} dr = n_r h
\end{equation}

\subsection{积分计算}
通过变量代换$x = 1/r$，积分化为：
\begin{equation}
	\oint p_r dr = 2\int_{x_{\max}}^{x_{\min}} \sqrt{2mE + 2mZe^2 x - n_\phi^2 \hbar^2 x^2} \left(-\frac{dx}{x^2}\right)
\end{equation}

这个积分可以通过复变函数方法或查椭圆积分表得到：
\begin{equation}
	\oint p_r dr = 2\pi\left(\frac{mZe^2}{\sqrt{-2mE}} - n_\phi \hbar\right)
\end{equation}

\subsection{能级公式}
令其等于$n_r h$：
\begin{equation}
	2\pi\left(\frac{mZe^2}{\sqrt{-2mE}} - n_\phi \hbar\right) = n_r h
\end{equation}

整理得：
\begin{equation}
	\frac{mZe^2}{\sqrt{-2mE}} = (n_r + n_\phi)\hbar
\end{equation}

解得能量本征值：
\begin{equation}
	E_n = -\frac{mZ^2 e^4}{2\hbar^2 (n_r + n_\phi)^2} = -\frac{mZ^2 e^4}{2\hbar^2 n^2}
\end{equation}
其中$n = n_r + n_\phi$为主量子数。

\subsection{椭圆轨道参数}
半长轴：
\begin{equation}
	a = \frac{\hbar^2 n^2}{mZe^2}
\end{equation}

偏心率：
\begin{equation}
	\epsilon = \sqrt{1 - \frac{n_\phi^2}{n^2}}
\end{equation}

\section{相对论修正的严谨推导}

\subsection{相对论哈密顿量}
考虑相对论效应后：
\begin{equation}
	H = \sqrt{m^2c^4 + c^2\left(p_r^2 + \frac{p_\phi^2}{r^2}\right)} - \frac{Ze^2}{r} - mc^2
\end{equation}

\subsection{哈密顿-雅可比方程}
\begin{equation}
	\left(\frac{\partial W}{\partial r}\right)^2 + \frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial W}{\partial \phi}\right)^2 = \frac{1}{c^2}\left(E + \frac{Ze^2}{r} + mc^2\right)^2 - m^2c^2
\end{equation}

\subsection{精细结构能级}
通过复杂的积分计算，索末菲得到：
\begin{equation}
	E_{n,j} = mc^2\left[1 + \frac{\alpha^2 Z^2}{(n_r + \sqrt{n_\phi^2 - \alpha^2 Z^2})^2}\right]^{-1/2} - mc^2
\end{equation}

展开为级数：
\begin{equation}
	E_{n,j} = -\frac{mc^2 \alpha^2 Z^2}{2n^2}\left[1 + \frac{\alpha^2 Z^2}{n}\left(\frac{1}{j + 1/2} - \frac{3}{4n}\right) + \mathcal{O}(\alpha^4)\right]
\end{equation}
其中$j = n_\phi$，$\alpha = \frac{e^2}{\hbar c}$。
